Anleitung: So berechnest du deine Rendite richtig!

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In diesem Artikel geht es um etwas sehr Fundamentales bei dem Thema Geldanlegen:

Wie du die durchschnittliche Rendite deines Investments richtig berechnest. Hier gibt es nämlich einen kleinen Stolperstein, den du besser überspringst.

Arithmetisches vs. geometrisches Mittel

Du kennst sicherlich den einfachen (arithmetischen) Durchschnitt. Man addiert einfach alle Werte in einer Stichprobe und teilt durch die Anzahl der Werte. Das ist ziemlich trivial:

Stichprobe: 10, 15, 20, 5

Summe: 50

Anzahl Werte: 4

Einfacher (arithmetischer) Durchschnitt: 12,5

Soweit alles klar und du denkst jetzt vielleicht: “Worauf will er eigentlich hinaus?!”

Nun, jetzt sehen wir uns mal ein weiteres Beispiel an. Diesmal die jährlichen, prozentualen Zugewinne des Deutschen Aktien Index (DAX). Also schlicht, wie viel Prozent hat der deutsche Leitindex in einem Jahr verloren oder gewonnen.

JahrDAXVeränderung% Veränderung
20055.408,26
20066.596,921.188,6621,98
20078.067,321.470,4022,29
20084.810,20−3.257,12−40,37
20095.957,431.147,2323,85
20106.914,19956,7616,06
20115.898,35−1.015,84−14,69
20127.612,391.714,0429,06
20139.552,161.939,7725,48
20149.805,55253,392,65
201510.743,01937,469,56
Summe95,87
Anzahl Werte10

Wenn wir also jetzt den einfachen Durchschnitt ausrechnen, dann erhalten wir:

95,87/10 = 9,587 bzw. 9,587%

Ok super, im Durchschnitt ist der DAX in den letzten 10 Jahren um 9,587% p.a. gestiegen. Wenn man das jetzt vielleicht noch für die letzten 20 Jahre macht, dann erhalten wir einen Durchschnittswert, mit dem wir schätzen können, was der Aktienmarkt so hergibt.

Falsch!

Wieso ist das falsch? Nun, rechne es doch einmal nach. Was bedeutet eine jährliche, durchschnittliche Verzinsung mit dem obigen, arithmetischen Durchschnitt über 10 Jahre?

Das entspricht 1,09587 * 1,09587 *1,09587 * 1,09587 * 1,09587 * 1,09587 * 1,09587 * 1,09587 * 1,09587 * 1,09587 = 1,09587^10 = 2,5

Ausgehend von dem Startwert 2015 (= Endwert 2014), welcher bei 5408,26 lag, müsste der DAX jetzt also bei 2,5 * 5408,26 = 13.520 liegen.

Zum Zeitpunkt dieses Artikels stand der DAX noch nie bei diesem Wert. Irgendwo muss folglich ein Fehler in der Logik sein.

Einer der Gründe liegt bei einem guten, alten Bekannten: dem Zinseszins. Aufgrund dieses Effekts ist es überhaupt erst möglich ansehnliche Vermögen im Laufe des Leben zu erwirtschaften. Er führt zu einer nicht-linearen, exponentiellen Entwicklung. Anders ausgedrückt bedeutet das, ein Euro, den du zurücklegst ist mehr als ein Euro wert. Klingt komisch, ist aber so.

Dieses nicht-lineare Verhalten lässt sich aber in den meisten Fällen nicht korrekt mit einem einfachen Durchschnitt darstellen.

Das arithmetische Mittel ist ein Blender, wenn es um Renditen geht

Hier noch ein Beispiel, um zu illustrieren, warum das arithmetische Mittel für dich als Investor nicht geeignet ist. Sieh dir die folgenden Abfolgen an:

Jahr 1: +16%

Jahr 2: -16%

Jahr 3: 0%

Im einfachen Durchschnitt wäre hier also nichts passiert, denn dieser ist folglich gleich 0. Was hätte aber ein Investor in diesen drei Jahren erlebt? Gehen wir davon aus, es handelt sich um die Zugewinne einer Aktie, welche am Anfang (Jahr 0 von wenn man so will) €100 wert gewesen wäre. So sähe die Entwicklung aus:

Jahr 1: €116 (+16%)

Jahr 2:  €97,44 (-16%)

Jahr 3: €97,44 (0%)

Genau hier liegt der Stolperstein beim arithmetischen Mittel. Es funktioniert einfach nicht, wenn es um Renditen geht.

Denn tatsächlich hätte man hier ausgehend vom Anfangswert Verlust generiert und nicht 0% erzielt.

Hier noch ein Beispiel mit anderen Zahlen:

Jahr 1: 8%

Jahr 2: 5%

Jahr 3: 8%

Wenn wir die einfache durchschnittliche Rendite berechnen, dann kommen wir auf 7%. Vergleichen wir nun einmal, wie sich eine Aktie mit einem Anfangswert in Höhe von €100 einmal mit der arithmetisch gemittelten Rendite geschlagen hätte und einmal mit den tatsächlich erzielten Renditen.

Jahrtatsächliche Entwicklungarithmetisches Mittel
1€108€107
2€113,40€114,49
3€121,34€122,50

Wie du unschwer erkennen kannst, überschätzt du die Rendite systematisch, wenn du deren Entwicklung mit dem einfachen Durchschnitt abschätzt.

Wie könnte man es also besser und richtig machen?

Rendite berechnen mit dem geometrischen Mittel

Das geometrische Mittel berücksichtigt, vereinfacht gesagt, den Zinseszins. Nehmen wir vorheriges Beispiel: Aus 100 Euro zu Beginn sind €121,31 nach drei Jahren geworden. Insgesamt entspricht das einer Rendite von (121,31/100) = 1,2134 daher 0,2134 oder auch 21,34%. Diese Rendite verteilen wir nun so über drei Jahre, dass wir unter Berücksichtigung von Zinseszins auf €121,34 kommen. Dies geht mit folgender Formel:

∛(1,2134) = 1,0666 daher 6,66%

Ob du es glaubst oder nicht, die Darstellung von Wurzelzeichen im Web ist recht beschränkt und oben nicht ganz korrekt, deswegen formuliere ich die Formel kurz in Worten aus: Die dritte Wurzel aus 1,2134.

Kurze Kontrollrechnung ob das stimmt: 1,0666^3 = 1,2134. Stimmt also tatsächlich.

Verallgemeinert ziehst du einfach die n-te Wurzel aus deiner Gesamtrendite. N steht hierbei für die Anzahl der Jahre, die von Anfang bis Ende vergangen sind. In unserem Beispiel hat es wie gesagt drei Jahre gedauert um von €100 auf €121,34 zu kommen.

Weiter oben hatten wir doch die kleine Tabelle mit den Werten des DAX über 10 Jahre hinweg, wo wir festgestellt haben, dass das arithmetische Mittel zu optimistisch beziehungsweise schlicht falsch war.

Der Anfangswert der Reihe war 5.408,26 Ende 2005 und der Endwert betrug 10.743,01 in 2015. Die durchschnittliche geometrische Rendite berechnet sich hier wie folgt:

10. Wurzel aus 10743,01/5408,26 = 10. Wurzel aus 1,9864 = 1,071 ⇔ 7,1% p.a. im Durchschnitt.

Kurze Kontrollrechnung: 1,071^10 = 1,9856 passt also. Achtung, die Werte sind nach der vierten Dezimalstelle gerundet.

Hier findest du das Ganze noch einmal übersichtlich dargestellt in einer Grafik:

Wir halten folgendes fest: das arithmetische Mittel ergab 9,587% p.a. und hat damit den DAX gnadenlos überschätzt. Das war, wie wir gesehen haben auch unvermeidbar, denn das ist die Natur der arithmetisch berechneten, durchchnittlichen Rendite. Das geometrische Mittel hingegen ergab 7,1% p.a. und hat den Zinseszinseffekt richtig berücksichtigt.

Zum Thema durchschnittliche/ geometrische Rendite habe ich dir auch ein interessantes Video rausgesucht.

Hier nochmal eine allgemeine Erklärung zur geometrischen Rendite:

Zusammenfassung

Für uns als Anleger ist es natürlich interessant die durchschnittliche Rendite über mehrere Jahre zu berechnen. Denn wir wollen ja wissen, wie sich unsere Investments langfristig Jahr für Jahr entwickelt haben. Dabei ist es wichtig, den richtigen Mittelwert zu verwenden und das ist hier der so genannte geometrische Mittelwert. Denn dieser berücksichtigt die nicht-lineare Entwicklung von Renditen.

Die Formel dafür lautet: n-te Wurzel aus Endvermögen/Anfangsvermögen wobei n für die Anzahl der Jahre steht.

Mit diesem Handwerkszeug und ein- bis zweimal Ausprobieren fällt es dir ab sofort sicher leicht, diese Klippe des Investierens zu Umschiffen.

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